岐阜大学の式と証明――「すべての」を係数条件へ翻訳する

この分野で本当に問われていること

式と証明では、既知の不等式を当てることより、日本語の量化条件を、変数を動かしたとき破綻しない係数条件へ翻訳する力が重要である。

特に

• すべての実数
• すべての正の実数
• 等号が成り立つ
• 桁数を求める

という語が、解法の方向を決める。

誘導の設計図を読む

2024年度第2問――基本不等式を積・階乗・桁数へ育てる

最初は平方が0以上という基本的な不等式から始まる。次に対数を取って積を和へ変え、対称な項を組にし、階乗の対数を評価し、最後に桁数へつなぐ。

前半の不等式は、その場の大小比較が目的ではない。後半で多数の項を足し合わせたときに消去・対称化しやすい形を作っている。

誘導に乗るには、各小問で得た不等式を「どの範囲の変数に対して」「足し合わせると何が残る形か」で見る。桁数は最後に

へ翻訳するが、その上下界は前問までの和の評価から受け取る。

2016年度第2問――二変数の「すべて」は片方を暴れさせる

二変数不等式がすべての実数で成り立つなら、一方の変数を固定し、他方をいくらでも大きく正負へ動かせる。

ある変数に関して一次式になっているなら、その係数が0でなければ符号を反転させて不等式を破れる。したがって、まず一次係数を0にする必要条件を得る。その後、残った二次式に判別式または平方完成を使い、十分性を確認する。

最初から判別式へ進むのではなく、「全実数だから自由に暴れられる変数はどれか」を見る。

2010年度第1問――端の挙動で必要条件、最小値で十分条件

すべての正の実数で成り立つ不等式では、$x\to0+$ と $x\to\infty$ の挙動から、係数に必要な条件を先に出す。

必要条件を得た後、その条件で本当にすべての $x>0$ に対して成り立つかを、差の関数の最小値で確認する。

この構成では、必要条件と十分条件を一つの変形で同時に出そうとしない。

という順で考える。

問題の特徴から解法候補を絞る

誘導に乗るための実戦手順

1. 条件が必要条件だけを求めているのか、必要十分条件まで求めているのか確認する。
2. 「すべての」が付く変数のうち、最も自由に動かせるものを見る。
3. 特別な値、端の挙動、係数の符号から候補条件を出す。
4. 候補条件の下で、判別式・平方完成・最小値により全域を保証する。
5. 等号条件を各段階から回収する。

よくある遠回り

• 「すべての」を見ても、特定の値を代入するだけで終える。
• 必要条件を得た時点で十分性を確認しない。
• 二変数式を最初から複雑に平方完成し、自由変数の係数を見ない。
• 対数を取る前に正値性を確認しない。
• 不等式を足し合わせた後、等号条件の同時成立を確認しない。
• 桁数を近似値だけで決め、厳密な上下界を作らない。

詰まったときの戻り先

「この条件が破れるとすれば、変数をどの方向へ動かすか」を考える。必要条件は反例を作る視点から、十分条件は最小値を保証する視点から求める。

演習で確認する観点

• 必要条件をどの値・極限・自由変数から出したか。
• 十分性を別に証明したか。
• 「すべての」という条件を係数条件へ翻訳したか。
• 前半の不等式を後半で足し合わせやすい形のまま使ったか。
• 等号条件が全段階で同時に成立するか確認したか。