岐阜大学の三角関数――代数化した後の「角への戻し方」で差がつく

この分野で本当に問われていること

岐阜大学の三角関数では、公式変形そのものより、三角式を代数方程式へ落とした後に、値域・周期・指定区間を使って角の解へ正確に戻す力が問われる。

設問の前半は「どの変数へ代数化するか」を示し、後半は「代数方程式の根と角の解の個数は同じではない」ことを確認する構成が多い。

三角式を $\cos x$ の三次式へ直し、まず代数方程式の根を調べ、最後に元の $x$ の解の個数へ戻す。

ここで必要な判断は二段階である。

三次方程式の実根数だけを答えにしてはいけない。区間ごとの符号変化や単調性で $t$ の候補を確定し、その後に余弦の周期・対称性で角へ戻る。

最終問が「解の個数」なら、三角式の変形は入口にすぎず、主題は二段階の個数管理である。

$\sin u=\sin v$ を解く小問では、

u=v+2k\pi,\qquad u=\pi-v+2k\pi

の二系列を両方残す。次の小問で指定区間へ入る整数 $k$ を選ぶためである。

序盤で一般解を簡略化しすぎると、後半の区間条件で解を落とす。一般解を求める小問は「答えを出す」より、「後半で整数条件を掛ける二つの枝を作る」役割を持つ。

最初から

-\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2}

が指定されている。この条件から $\cos\theta>0$ が分かるため、式変形の途中で $\cos\theta$ を割ってよい。

後半では整数パラメータが加わる。三倍角公式で $\cos3\theta$ を $\cos\theta$ の多項式へ直し、値域 $0<\cos\theta\le1$ と整数条件を組み合わせて候補を絞る。

区間条件は最後に解を選ぶためだけではなく、前半の式変形を正当化する条件でもある。

前半で $\tan3x$ を $t=\tan x$ の有理式へ直し、後半で $y=c\tan x$ と $y=\tan3x$ の共有点数を求める。

共有点問題になったら、図を別々に描く前に、前半の式へ $t=\tan x$ を代入して代数方程式へする。零解と非零解を分け、分母が0になる値と指定区間を確認する。

第1問の公式導出は、後半の共有点条件を一変数化するための道具である。

「式をどう変形するか」ではなく、「どの三角関数一種類へ統一すれば、後半の問いが代数化できるか」を考える。解の個数で詰まったら、代数根の個数と角の個数を別々に数え直す。