岐阜大学の二次関数・絶対値――候補が入れ替わる境界を先に作る

この分野で本当に問われていること

二次関数・絶対値では、平方完成そのものより、最大・最小の候補がパラメータによっていつ入れ替わるかを管理する力が問われる。

場合分けの境界は、思いつきで増やすものではない。次の二種類から作る。

1. 頂点や零点が指定区間へ出入りする値
2. 二つの候補値の大小が入れ替わる値

この二つを先に求めれば、場合分けを漏れなく、かつ必要最小限にできる。

誘導の設計図を読む

2022年度第5問――最大・最小を先に分け、絶対値へ再利用する

二次関数 $f(x)$ について、パラメータの範囲を二つに分けて最大値・最小値とその位置を求め、その後に $|f(x)|$ の最大値、さらに別の絶対値関数の最大値へ進む。

前半で最大値・最小値を求めるのは、後半の $|f|$ を最初から場合分けしないためである。

と候補を二つへ絞り、その大小が等しくなるパラメータを新しい境界にする。

第1問で別関数の微分を求めさせる部分も、最終問の一変数最大化で使う道具になっている。見慣れない準備問題が挟まれたら、最終式の一部を先に処理させていないかを見る。

2015年度第2問――最小値から係数、零点から絶対値の折れ目を作る

最小値条件から係数をパラメータで表し、次に零点を求め、最後に区間上の $|f(x)|$ の最小値を求める。

零点を先に問うのは、絶対値のグラフがどこで折り返すかを確定するためである。最終問で改めて $|f|$ を場合分けするのではなく、前問の零点と頂点を候補点として使う。

2009年度第3問――候補値の比較がパラメータ場合分けを作る

の区間最大値では、絶対値の折れ目 $x=2a$、区間端点、絶対値を外した後の二次関数の頂点が候補になる。

場合分けは $a$ の符号だけでは決まらない。折れ目と頂点が区間内に入る境界を求め、さらに候補値同士が等しくなる $a$ を求める。最大値を与える点が切り替わるのは、その等式の場所である。

実戦的な候補管理

第1段階: 候補点を列挙する

• 区間の両端
• 二次関数の頂点
• 絶対値の中身の零点
• 場合分け後の各式の頂点

第2段階: 候補点が区間内にある条件を求める

頂点や零点の座標をパラメータで表し、指定区間へ入る条件を解く。この値が最初の境界になる。

第3段階: 候補値の交代点を求める

残った候補値をパラメータの式にし、等しい値を取る境界を求める。この値を境に最大・最小を与える点が変わる。

第4段階: 境界で式がつながるか確認する

隣り合う場合の答えが境界で一致するかを確認する。場合分けの検算として有効である。

問題の特徴から解法候補を絞る

よくある遠回り

• 最初からパラメータの細かい場合分けを始める。
• 頂点が区間外でも候補に残す。
• $|f|$ の最大を、$f$ の最大値だけで決める。
• 零点を求めた前問を使わず、絶対値を一から外す。
• 候補点の出入りと候補値の交代を同じ境界として扱う。
• 場合分けの境界で答えが一致するか確認しない。

詰まったときの戻り先

グラフを細かく描く前に、「候補点の一覧」「候補点が区間内にある条件」「候補値が等しくなる条件」の三列を作る。場合分けはこの表から機械的に生成する。

演習で確認する観点

• 場合分けの各境界が何を意味するか説明できるか。
• 前半の最大・最小・零点を後半の絶対値へ再利用したか。
• 候補点の出入りと候補値の交代を区別したか。
• 境界で隣の式と一致するか確認したか。
• 最大値を与える点まで答え、候補の根拠を示したか。