岐阜大学の微分・積分――前半で作った図を後半まで使う

この分野で本当に問われていること

岐阜大学の微分・積分は、原始関数を計算する試験ではない。前半の微分、共有点、符号、不等式が、後半の面積・体積・解の個数・極限を処理するための道具として並べられている。

得点差がつくのは、直前の小問が次のどの役割を持つかを読めるかである。

積分公式を作る
グラフの符号と増減を確定する
パラメータを接点・交点の座標へ置き換える
絶対値を外す境界を作る
極限で使う評価式を作る

小問の答えを出すたびに「この結果は次に何を決めるか」を一行で書くと、誘導の切れ目を見失いにくい。

誘導の設計図を読む

2020年度第4問――第1問は積分公式の作成

第1問で $x(\log x)^2$ の導関数を求め、第2問で $(\log x+1)^2$ を積分し、第3問で

\int |\log x-a|\,dx

を求め、第4問でその最小化へ進む。

第1問の微分計算は独立したウォームアップではない。第2問以降で必要な原始関数を逆向きに作らせている。積分で詰まったら部分積分を新しく考える前に、第1問の導関数を見直すべきである。

第3問では $\log x-a=0$ となる $x=e^a$ が区間分割点になる。第4問は、第3問で得た積分値を $a$ の関数として微分する。つまり、

\text{微分公式の作成} \to \text{絶対値積分} \to \text{パラメータ関数の最小化}

という一本の流れになっている。

2020年度第5問――符号表から解の個数までを一枚の図で処理する

最初に $f(x)>0$ の範囲、次に $f'(x)$ 、その後に $|f(x)|$ の極値、最後に $|f(x)|-a=0$ の実数解の個数を問う。

第1問は絶対値を外す区間、第2問は増減、第3問は $|f|$ のグラフ、第4問は水平線 $y=a$ との共有点数を作っている。

ここで第4問を方程式として解こうとすると遠回りになる。前半で完成した $|f(x)|$ のグラフに水平線を動かし、極値と接する高さで解の個数が変わると読む。

「解の個数」が最終問に来たら、前問までの符号・増減・極値を一枚の概形へ統合するのが誘導の意図である。

2021年度第4問・2015年度第4問――パラメータを交点・接点へ移す

曲線の共有点や接線を含む問題では、元のパラメータをそのまま追うより、交点または接点の座標を $t$ と置く方が後半へつながる。

共有点条件から元のパラメータを $t$ で表せば、積分区間、上下関係、面積、回転体の半径を同じ $t$ で管理できる。接点を消去して元のパラメータへ戻す必要はない。

最終問が面積・体積なら、序盤の「共有点を求めよ」「接線を求めよ」は、図形の境界を $t$ で固定するための小問である。

2022年度第4問・2018年度第5問――前半の評価は極限の誤差管理

和の極限では、いきなり区分求積へ当てはめるのではなく、前半で作った恒等式や不等式が何を評価しているかを見る。

2022年度第4問では、三角関数の和を差の形へ直して中間項を消し、係数部分と和の部分を分けて極限へ進む。2018年度第5問では、対数の差を逆数ではさみ、誤差が消えることを確認してから区分求積へ移る。

前半の不等式は別問題ではない。最終極限で「置き換えてよい理由」を保証している。

問題の特徴から解法候補を絞る

問題文・設問の特徴	最初に考えること	後半での用途
微分公式を先に問う	次の積分の原始関数を作らせていないか	定積分、部分積分の省略
$e^x,e^{2x}$ が並ぶ	$t=e^x>0$ で代数化	共有点、解の個数、極値
接点・共有点とパラメータ	点の座標でパラメータを置き換える	面積、体積、接線本数
絶対値の前に符号を問う	符号が変わる点を固定する	区間分割、$
極値の後に解の個数	水平線との共有点として読む	個数が変わる境界
和に $1/n$ , $k/n$	区分求積の幅と標本点	定積分への移行
不等式の後に極限	誤差評価またははさみうち	置換の正当化
一般式の分母が0になる値	特別な値を別計算	例外処理

「解の個数」の思いつき方

解の個数を問われたら、方程式を解く前に、何を動かす問題かを見る。

$f(x)=a$ : 水平線 $y=a$ を動かす。
接線の切片が $a$ : 接点 $t$ の関数 $X(t)=a$ と見る。
$|f(x)|=a$ : 前問までに作った $|f|$ のグラフへ水平線を引く。
置換後の方程式: 代数方程式の根数だけでなく、置換後の定義域へ戻す。

個数が変わる境界は、極値、端点、接点、定義域の端にある。判別式を使うか増減表を使うかは、境界をどちらが短く特定できるかで決める。

面積・体積で誘導に乗る

交点を先に固定する

積分式を書く前に、区間の両端と上下関係を確定する。交点条件からパラメータを $t$ へ置き換えたなら、その $t$ を積分区間にも使う。

前問の符号をそのまま使う

絶対値付き面積では、零点を再計算しない。前問で求めた符号範囲を区間分割へ移す。

回転軸から切り方を決める

縦切り・横切り、円板・円環を、式の形ではなく回転軸と領域の位置から決める。前問でどちらの曲線が上かを調べた結果は、外側半径と内側半径の判断にも使う。

よくある遠回り

各小問を独立した計算として解き、前問の公式を使わない。
接点や交点を消去して、元のパラメータへ戻してしまう。
面積の前に上下関係を確認しない。
絶対値積分を、零点を決めずに形式的に処理する。
解の個数を方程式の直接解法だけで処理する。
区分求積らしい形を見た瞬間に、前半の誤差評価を捨てる。
停留点だけを調べ、端点と無限遠を比較しない。

詰まったときの戻り先

直前までに得た導関数、符号、共有点、不等式を並べる。
現在の小問に必要なのが「区間」「上下」「境界」「誤差」のどれかを決める。
その情報を既に与えている前問を探す。
新しい計算は、前問の結果だけでは不足する部分に限定する。

微積分で誘導に乗れないときは、積分技法より、図の骨格を毎問作り直していることが原因になりやすい。

演習で確認する観点

第1問の計算が後半のどの式に再登場したか。
パラメータを接点・交点の座標へ移したか。
絶対値を外す境界を前問から受け取ったか。
解の個数をグラフの境界問題へ変換したか。
極限の前の不等式が、どの誤差を押さえているか説明できるか。

この五点を説明できれば、計算を覚えたのではなく、誘導の構造を再現できている。