岐阜大学の図形とベクトル――係数を最後まで持ち運ぶ

この分野で本当に問われていること

岐阜大学のベクトルで差がつくのは、位置ベクトルの公式を知っているかではない。序盤で作らされた係数を、交点条件、直交条件、面積比、体積比、値域へどう持ち運ぶかである。

設問はしばしば、次の順に組まれている。

1. 図形上の点や方向を、基準ベクトルで表す。
2. 同じ点を別の直線から表し、係数を確定する。
3. 直交や角の条件で自由度を一つ減らす。
4. 残った係数を、面積・体積・角度・値域へ読み替える。

したがって、各小問の答えを数値として閉じるのではなく、「この係数は次に何の比として使えるか」を考えながら解く必要がある。

誘導の設計図を読む

2025年度第1問――表示の係数がそのまま面積へ行く

設問は、$\overrightarrow{OP}$ の表示、交点 $D$ の表示、角の二等分条件からのパラメータ決定、三角形の面積という順で進む。

ここで第1問・第2問は単なる準備計算ではない。第2問で得る

$$\overrightarrow{OD} =\lambda\{(1-\alpha)\vec a+\alpha\vec b\}$$

のような形には、$D$ がどの方向へどれだけ進んだ点かが残っている。第3問では角の二等分を長さの比へ翻訳して $\alpha$ を決め、第4問では同じ係数と $\vec a,\vec b$ のなす角を面積へ使う。

実戦上の要点は、途中で $D$ の座標を成分計算へ崩さないことである。係数の意味を保った方が、後半の面積へ短く接続できる。

2024年度第3問――交点パラメータは面積比の予告

最初に $\overrightarrow{FE}$、次に $\overrightarrow{FQ}$ を表し、交点 $I$ を

$$\overrightarrow{FI}=k\overrightarrow{FQ},\qquad \overrightarrow{EI}=m\overrightarrow{EP}$$

と二通りに置く。その後に面積比と値域を求める。

この並びを見た時点で、$k,m$ は交点を求めるためだけの補助文字ではないと判断したい。直線上の進み具合を表す $k,m$ は、その直線を底辺に持つ三角形の面積比へ変換できる。最後に $s+t=1$ という条件が付くため、途中式では $s,t$ を早く数値化せず、一変数へ落としやすい形を保つ。

「交点の係数を求める小問の後に面積比が来る」なら、次の小問は新しい面積公式を要求しているのではなく、すでに求めた係数の図形的意味を読む問題である。

2023年度第1問――直交条件は後半の自由度を消す

第1問で $\overrightarrow{OQ}$ と $\overrightarrow{QG}$ を $s$ を含む形で表し、第2問の直交条件で $s$ を決める。第3問の面積、第4問の角度計算は、その値を使う。

直交条件を見たら、内積0を立てること自体より、「この条件でどの文字を消す設計か」を見る。第1問のベクトル表示を作り直さず、そのまま内積へ入れるのが誘導に乗る解き方である。

さらに最終問が $\tan(\angle OQG+\angle OPG)$ を求める形なら、個々の角を逆三角関数で求める必要はない。前問までに得た長さや内積から各正接を作り、加法定理へつなぐ意図を読む。

問題の特徴から解法候補を絞る

小問の動詞から役割を読む

「表せ」

答えを得るだけでなく、次の式へ代入しやすい座標系を指定している。基準ベクトルを勝手に変えず、指定された $\vec a,\vec b,\vec c$ の係数を残す。

「垂直であるとき」

新しい図形知識を問う合図ではなく、前問のベクトル式を内積へ入れてパラメータを確定する合図である。直交条件を最初から別計算しない。

「面積比・体積比を求めよ」

絶対量を求める前に、共通の高さ、共通の頂点、相似比、係数の積を探す。前問の係数が残っているなら、それを使わない解法は誘導から外れている可能性が高い。

「動くとき、値の範囲」

数値代入を始めるのではなく、点の位置条件と前問の係数を使って一変数関数へ落とす。係数が $0$ から $1$ の範囲にあることも、値域の端点候補になる。

よくある遠回り

すべて座標化する

交点、内分、面積比が中心なのに直交座標を置くと、不要な成分が増える。円・放物線・距離が中心でなければ、まず係数表示を優先する。

各小問で最初から式を作り直す

第1問で得たベクトルを第2問で再利用せず、図から直交条件を作り直すと誘導の利点を失う。答案の余白に「次に使う式」を残しておく。

係数を早く消去する

交点の座標だけを求めて $k,m$ を消すと、面積比の意味が見えなくなる。後半が比や値域なら、係数表示を保つ。

面積公式へ直行する

$\frac12 ab\sin C$ を使う前に、比だけで済まないかを見る。岐阜大学では、前問の係数を使えば絶対的な長さを出さずに済む設計が多い。

詰まったときの戻り先

1. 直前の小問で新しく得たものを一つ選ぶ。
2. それが「位置」「比」「方向」「長さ」のどれを表すか言葉にする。
3. 現在の小問が要求する量へ、その意味をどう変換できるか考える。
4. 新しい補助線や座標を入れるのは、それでも接続できない場合だけにする。

ベクトルで誘導に乗れないときは、知識不足より、直前の係数を数値として閉じてしまっていることが多い。

演習で確認する観点

• 第1問の式が第何問で再利用されたか説明できるか。
• 導入された係数の図形的意味を一語で言えるか。
• 直交条件がどの自由度を消したか説明できるか。
• 面積・体積を絶対量なしで比較できるか検討したか。
• 求めた係数が点の位置条件を満たすか確認したか。

解答後にこの五点を記録すると、「解けた問題」を「次も思いつける問題」へ変えられる。