岐阜大学の整数――一般則が上限で崩れる場所を分ける

この分野で本当に問われていること

岐阜大学の整数問題では、高度な整数論より、一般的な数え方・合同式・因数分解へ、上限、桁、奇偶といった局所条件を正確に重ねる力が問われる。

特に注意すべきなのは、通常の公式が範囲の端でそのまま使えない場合である。上限が2017のような具体的な値なら、上位桁によって一般部分と端の部分を分ける。

誘導の設計図を読む

2017年度第1問――包除原理の後に上限処理を分ける

倍数の個数は包除原理で数えられる。一方、桁条件を含む数の個数では、上限2017のため、千の位が1の場合と2の場合で自由度が異なる。

千の位が1なら下三桁を一般的に数えられるが、千の位が2なら2017以下という上限が強く効き、個別確認が必要になる。

「4桁の数」として一つの順列計算にまとめるのではなく、上限が一般則を壊す境界で場合を分ける。

2014年度第3問――下位桁と上位桁で道具を変える

大きな整数の下位桁は、法 $10^k$ の合同式で求める。高い次数の項でも、法 $10^k$ で0なら下位桁へ影響しない。

一方、上位桁や桁数は合同式では分からない。整数の大きさを厳密に評価するか、常用対数で

の形へ入れる。

同じ「桁」の問題でも、下から見るか上から見るかで道具を切り替える。

2018年度第1問――因数分解は約数列挙の入口

数列の和の差を

と因数分解し、指定された整数の因数対へ落とす。

因数対を全部列挙した後に、$m,n$ の大小、正負、奇偶条件で候補を削る。因数分解で解答が終わるのではなく、整数条件を因数対へ翻訳するところが中心である。

2024年度第2問との接続――桁数は不等式の最終用途

整数単元として独立出題されなくても、式と証明の問題で階乗の桁数が問われる。対数の上下界を作り、その整数部分を確定する。

整数対策は合同式だけでなく、「連続量の評価から整数を一つに絞る」問題も含む。

問題の特徴から解法候補を絞る

誘導に乗るための実戦手順

1. 最終条件が「倍数」「桁」「因数対」のどれかに翻訳できるかを見る。
2. 一般公式が使える範囲と、上限・端点で崩れる範囲を分ける。
3. 因数分解・合同式・対数のうち、見たい情報に合う道具を選ぶ。
4. 候補を出した後、奇偶、正負、大小、桁数で削る。
5. 数え上げでは、重複が共通部分として引かれているか確認する。

よくある遠回り

• 上限付きの数を、すべて同じ桁の順列として数える。
• 下位桁と上位桁を同じ方法で求めようとする。
• 因数分解後、すべての因数対を解候補として残す。
• 包除原理で共通部分の最小公倍数を誤る。
• 対数の近似だけで桁数を決め、整数境界を保証しない。

詰まったときの戻り先

求めたいのが整数そのものではなく、「余り」「大きさ」「因数」のどれかを確認する。余りなら合同式、大きさなら対数、積の構造なら因数分解へ戻る。

演習で確認する観点

• 上限によって一般則が崩れる場所を分けたか。
• 下位桁と上位桁で道具を切り替えたか。
• 因数対を奇偶・正負・大小で削ったか。
• 包除原理の重複部分を説明できるか。
• 連続的な評価から整数を一意に確定したか。